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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
k) $f(x) = x^2 (2 - x)^2$
k) $f(x) = x^2 (2 - x)^2$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
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Yo acá reescribiría esta función así, para que nos quede como un simple polinomio y va a ser todo mucho más fácil:
$f(x)= x^2 (2-x)^2 = x^2 (4 -4x+x^2) = 4x^2 - 4x^3+x^4$
Todas formas equivalentes de escribir a $f$, pero creo que el análisis va a ser más fácil si usamos esta última opción. Arrancamos:
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando $x$ tiende a $ \pm \infty$
$\lim_{x \to +\infty} 4x^2 - 4x^3+x^4 = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} 4x^2 - 4x^3+x^4 = +\infty$
Por lo tanto, $f$ no tiene asíntota horizontal.
3) Calculamos $f'(x)$:
\( f'(x) = 8x - 12x^2 + 4x^3 \)
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$8x - 12x^2 + 4x^3 = 0$
Saco factor común $x$
$x \cdot (8 - 12x + 4x^2) = 0$
Por lo tanto, las soluciones son $x=0$ y las raíces de esa cuadrática entre paréntesis, $x=1$ y $x=2$.
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < 0 \)
b) \( 0 < x < 1 \)
c) \( 1 < x < 2 \)
d) \( x > 2 \)
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < 0$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
b) Para \( 0 < x < 1 \)
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
c) Para \( 1 < x < 2 \)
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
d) Para $x > 2$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.